No.335 門松宝くじ, No.336 門松列列 - うにゅーん、って感じだ

奇跡的に全完できたけど、普通にクソ苦手なセットだった
門松列の流行早く終わってくれ

No.335 門松宝くじ - yukicoder
No.336 門松列列 - yukicoder

門松宝くじは、当確率である2つの数字が選ばれたとき、3つの数字が門松列かつ3つの数字のmaxが最大になるようにもう1つの数字を選ぶようにして、そのときのmaxの期待値を出す問題（自分でも何を言っているのかわからない…）

普通に全部の選ばれる数字の組（ ${_nC_2}$ 通り）に対して ( ${n-2}$ )通り全探索すると ${O(n^3)}$ となりダメ（最初、800^3 = 2400万だと勘違いしてこれで出した）

そこで、選ばれた2つの数字について具体的に考えていきます

選ばれた2数a, b(a < b)について、元の順列におけるindexが index[a] < index[b] のとき

下図(横軸 : index, 縦軸 : 数値)で適当に赤く塗られたところの数をあと一つの数として選べば、3数は門松列になります
f:id:riantkb:20160118132310p:plain

ここから、実は区間のMaxとminさえ持っていれば良いことがわかります

max[i][j]を区間[i, j]におけるMax、min[i][j]を区間[i, j]におけるminとすると、

max[0][index[b] - 1] > b のとき ...... 得点は max[0][index[b] - 1]
max[0][index[a] - 1] > a のとき ...... 得点は b
min[index[b] + 1][n - 1] < b のとき ...... 得点は b
min[index[a] + 1][n - 1] < a のとき ...... 得点は b
上のいずれにも適さないとき ...... 門松列を作れないので得点は 0

max[i][j], min[i][j] を前もって ${O(n^2)}$ で求めておけば、各組に対して定数時間で求めることができ、結果 ${O(m n^2)}$ となります

index[b] < index[a] のときも同じような感じで求めることができます

門松列列は、順列の並び替えの中でジグザグな列は何通りあるか、という問題
（どっかで見たことある気がするけど、題意は ${a_i < a_{i + 1} < a_{i + 2}}$ または ${a_i > a_{i + 1} > a_{i + 2}}$ となる i が存在しないことと同義）

まぁ、DPを考えます。

i - 1番目の数がi番目の数より大きかったかどうかで、i + 1番目にどのような数を置けるかが決まります
（例えば ......, 6, 4 というところまで数列を作っていたら、次の数は5以上でなければならない）

使える数字は決まっていて、一度使った数字は使えないので、次に置ける数字がm個、次に置けない数字がn個だとすると下図のようになります
f:id:riantkb:20160118135420p:plain

このとき、次のような漸化式が成り立ちます

dp[m + n][m] = dp[m + n - 1][n] + dp[m + n - 1][n + 1] + ... + dp[m + n - 1][m + n - 1] (dp[0][0] = 1)
（dp[m + n - 1][k] は、次に置ける数の中でk - n + 1番目に小さい数を選んだときの場合の数）

これをこのままループを回すと ${O(N^3)}$ となりますが、
sum[i][j] = ${\sum_{k = 0}^{j - 1}}$ dp[i][k]
を順次求めておけば ${O(N^2)}$ となり、間に合います

求めるものは、sum[N - 1][N] * 2 です

なんかすごい変なDPをしている自覚はあります......

それぞれ、提出はこんな感じです
#71404 No.335 門松宝くじ - yukicoder
#71459 No.336 門松列列 - yukicoder